Paradokslar

           Binlerce yıllık geçmişi olan paradokslar, insanların kafasını devamlı meşgul etmiştir. Aslında “doğru” gibi görünen bir önerme veya fikir, tamamen yanlış olarak karşımıza çıkar. Bazen de bir “yanlış”ın doğru olduğunu görürüz.

          Birkaç paradoks tanımı verelim:

   ”Çok mantıksız görünen aslında mantıklı söz”

   ”İki doğrunun ya da iki yanlışın çelişkisi”

   “Kâğıt-kalem veya mantık illüzyonu”

          Özellikle mantık paradokslarında anlatım, çok doğru görünür ama günlük hayattaki uygulaması çoğu zaman mümkün değildir. (İleride anlatılacak olan Zenon Paradoksu’nda olduğu gibi.)

          Paradokslar, düşünmeyi sevenler için çok eğlencelidir. Bir paradoks, soru olarak sorulduğunda cevabı arayan insanlar arasında çok değişik etkiler meydana getirir. Soru sorulan kişinin merakı ve öğrenme isteği artar, kafasında değişik fikirler belirir, olaylara daha farklı açılardan bakmaya başlar.

         Bir illüzyonistin sırlarını merak etmeyen yoktur. İllüzyonistler için de en büyük zevk, insanları şaşırtmak, onları hayrete düşürmektir. Paradokslar, insanlar üzerinde bir illüzyonist gibi etki yapar. Paradokslarla ilgilenenler de bir çeşit illüzyonisttir.

          Paradoks bilmecelerinin cevabı belki çok basittir. Ancak zaman geçtikçe “Olamaz!”lar, “İmkânsız!”lar başlar. Cevap bulunduğunda veya açıklandığında soru sorulan kişiyi, yeni bir şey öğrenme mutluluğu ve zevki kaplar. Kısacası paradokslar, ilginçtir, eğlencelidir, öğreticidir, şaşırtıcıdır…

          Hemen hemen tüm bilim dallarında ve günlük hayatta paradokslara rastlarız. Burada daha çok matematik biliminde karşılaştığımız bazı paradokslardan bahsedeceğiz. Ama daha önce “cümle” ve “mantık” paradoksları hakkında kısaca bilgi verelim:

Epimenides Paradoksu:

          Tarihte bilinen ilk paradokstur. Giritli olan Epimenides (M.Ö.6 yy.), paradoksa sebep olan şu ünlü cümleyi söylemiştir:

          “Bütün Giritliler yalancıdır!”

          Bu cümle doğru ise Epimenides de yalancıdır. Dolayısı ile bu cümle yanlıştır. Eğer bu cümle yanlış ise doğrusu şu şekilde olmalıdır:

          “Bazı Giritliler doğrucudur.”

          Bu cümleden dolayı Epimenides de doğrucu olabilir ve her dediği doğrudur…

          Benzer olarak şu cümleler de paradoksa sebep olur:

          “Şu anda yalan söylüyorum.”

          “Bu okuduğunuz cümle yanlıştır.”

          “Yalan söylemek dışında hiçbir kötü huyum yoktur.”         

          “Bu cümleyi okumayın.” gibi…

Zenon Paradoksu:

Achilleus’a bir kaplumbağa yarış teklif eder. Hikâye bu ya kaplumbağanın bir şartı vardır: “Yarışa birkaç metre önden başlamak”. Achilleus şartını kabul eder. Kaplumbağa kısa bir açıklama yapar:

          Benim yarışa başladığım noktaya “a” diyelim. Sen “a” noktasına geldiğinde, ben senin önünde olacağım. O noktaya da “b” diyelim. Sen “b” ye geldiğinde ben “c” gibi senin önündeki bir noktada olacağım… Kısacası sen bana devamlı yaklaşacaksın ama hiçbir zaman geçemeyeceksin.

          Bir süre düşünen Achilleus, yarışmaktan vazgeçer.

$ (Dolar) Paradoksu:

Olay, döviz kurlarının henüz uygulanmadığı yıllarda ABD-Kanada sınırındaki bir şehirde geçmektedir.
         ABD ve Kanada mâlum ki para birimi olarak ‘$ (dolar)’ kullanmaktadırlar. Yalnız her iki ülke de kendi paralarının daha değerli olduğunu iddia etmektedirler. Şöyle ki:

     Kanadalılara göre:
     1 ABD $= 90 Kanada ¢ (cent),

     Amerikalılara göre ise :
     1 Kanada $= 90 ABD ¢.

           Bir Amerikalı, cebindeki 1 ABD $ ile dolaşmaya çıkar. Bir ara karnı acıkır ve simit alır. Simitin fiyatı 10 ¢’tir. Cebindeki 1 $’ı verir. Simitçi bozuk para ararken cebinin bir köşesinde 1 Kanada $’ı bulur, onu verir (90 ¢’e eşit ya!). Derken sınırı yürüyerek geçer ve Kanada’da dolaşmaya başlar. Kaleme ihtiyacı olduğunu hatırlar. Girer bir kırtasiyeciye. Kalemin fiyatı da 10 Kanada ¢’idir. Cebindeki 1 Kanada $’ını verir. Kırtasiyeci de para üstü olarak 1 ABD $’ı verir. Oradan da ayrılıp evine döner. Sonra düşünmeye başlar:    

”Sabah evden çıkarken cebimde 1 ABD $’ım vardı ve hâlâ 1 ABD $’ım var. Pekiyi simitle kalemin parasını kim verdi?”

Yalancı Paradoksu:

Bir işyeri sahibi, çalışanlar arasında zaman zaman değişik yarışmalar düzenler. Bu kez yarışmanın konusu, “yalan” söylemek. Ödül olarak ise kazananın maaşına 100% zam yapılacaktır.

          Herkes sırayla gelerek yalanlarını söylerler. Ancak patron, zam yapmamak için hepsine de “olabilir”, “neden olmasın” gibi cevaplar verir.  İçlerindeki en akıllı eleman da şöyle bir yalan söyler:

          “Geçen ay söz vermiştiniz. Bu ay maaşıma 100% zam yapacaktınız!”

          Patron, önce “Yalan söylüyorsun!” demek ister. O hâlde yarışmayı kazandığı için ödüle hak kazanmış olur. Ödülü vermemek için “Doğru söylüyorsun.” demelidir. Bu sefer de sözünü tutmak ve zam yapmak zorundadır.

Yamyam Paradoksu:

Bir adam, vahşi insanlarla dolu bir adaya düşer. Yerlilerce hemen yakalanır ve kabile reisinin huzuruna çıkarılır. Reis der ki:

          – Ey beyaz adam. Karnımız iyice acıktı. Kusura bakma ama seni yemek zorundayız. Ama biz o kadar da kötü insanlar değiliz. Çünkü biz kurbanlarımızın nasıl öldürüleceklerini kendisine sorarız! Sen şimdi bize bir cümle söyle. Söylediğin cümlenin “doğru” olduğuna kanaat getirirsek seni “asacağız.” Eğer “yanlış” bir şey söylediğini düşünürsek “yakacağız”.

          Kabile reisi bir taraftan da sofranın hazırlanması tâlimâtını verir. Adam, kendisini kurtaracak şu cümleyi söyler:

“- Beni yakacaksınız!”

          Adamın önce doğru söylediğini kabul ederler. Ancak doğru söylerse “asmaları” gerekir. Astıkları takdirde adamın söylediği yanlış olur. Yanlış söylediğinde “yakmaları” gerekecektir. Bu sefer de yakmaları, adamın doğru söylediği anlamına gelir…        

Paradoksun Sebepleri

         Matematik Paradoksları’nın oluşmasında üç temel sebep vardır:

   a) İşlem Hatası,

   b) Yanlış kabul,

   c) Eksik Bilgi.

              Bunların en az biri, paradoks için yeterlidir. İşlem ve şekiller üzerine çok sayıda paradoks vardır. İşte bunlardan birkaçı:

1 kg = 1 ton Paradoksu:

1 kg = 1000 gr…………………..(1)
2 kg = 2000 gr…………………..(2)

(1) ve (2) çarpılırsa:

2 kg = 2.000.000 gr
2 kg = 2.000 kg
2 kg = 2 ton
1 kg = 1 ton    elde edilir ki burada bir işlem hatası vardır.

          Doğru Parçası Paradoksu:

          Önce doğru parçasının tarifini yapalım:
          Doğru Parçası: Başlangıcı ve sonu belli olan ve sonsuz adet noktadan oluşan doğruya “doğru parçası” denir. Peki, nokta nedir?

          Nokta: Kalemin kâğıda bıraktığı en küçük iz veya belirti “nokta” olarak adlandırılır. Malûmdur ki noktanın boyutu yoktur. O hâlde paradoks başlıyor:

          Noktanın boyutu olmadığına göre iki noktanın yan yana gelmesi bir şey ifade etmez. 100 nokta veya 1 milyar nokta da yan yana geldiğinde herhangi bir şekil oluşturmaz. (Çünkü şekil oluşturması için gerekli olan boyut özelliğini sağlamaz.) Bu şuna benzer ki sıfır ile sıfırın toplamı yine sıfırdır. Milyarlarca sıfırın toplamı da yine sıfırdır. O hâlde doğrunun tanımında bir hata olmalı. Çünkü sonsuz adet noktanın yan yana gelmesi bir şey ifade etmez! Noktanın çok çok az da olsa boyutu olduğunu kabul etmemiz gerekir. Bu sefer de noktanın tanımı hatalı olur.

          Noktayı boyutlu kabul edelim.  Karşımıza bir paradoks daha çıkar; doğru parçasında sonsuz adet nokta olduğuna göre doğru parçasının da uzunluğu sonsuz olmalıdır. Çünkü çok az da olsa boyutu olan bir şeyden sonsuz adedi yan yana gelirse sonsuz uzunluk olur.

Üçgenler Paradoksu:

Aşağıdaki şekilleri dikkatle inceleyiniz:

İkinci üçgen, ilk üçgenin parçalarından oluşturulduğu hâlde neden 1br²’lik fark oluştu?

         Karışık Bir Hesap:

          İki çocuk ayrı ayrı kalem satmaktadırlar. Her ikisinin de 30’ar tane kalemi vardır. Biri, 3 kalemi 10TL’ye; diğeri de 2 kalemi 10TL’ye vermektedir. İlki 30 kalemden 100TL, diğeri de 150TL kazanır. (Toplam 250 tl) Ertesi gün yine 30’ar kalemle evlerinden çıkarlar. Yolda karşılaştıklarında biri diğerine der ki:

          “Gel seninle ortak olalım. 60 (30+30) kalemin 5 (2+3) tanesini 20 (10+10)TL’ye satalım. Kazandığımız parayı da paylaşırız.” Basit bir hesapla 60 kalemden 240 YTL kazanırlar. Yani:

5 Kalem…………….20TL ise
60 Kalem…………..xTL’dir.   

Buradan;

x=(60.20)/5= 240TL

Çocuklar, ayrı ayrı satış yaptıklarında toplam 250TL kazanıyorlardı. Beraber sattıklarında neden 10TL zarar ettiler?

Lokanta Paradoksu:

          Üç arkadaş bir lokantaya giderler. Yemeklerini yerler ve hesap gelir: 250TL. Her biri kendi yemeğinin parasını vermek için 100’er TL garsona verirler ve paranın üstünü beklemeye başlarlar. Garson, 50TL olan para üstünü götürürken şunları düşünür:

          “50TL’yi üç kişiye eşit olarak paylaştırmak, mümkün değildir. O hâlde ben her birine 10’ar TL vereyim. 20TL de benim olsun.”

          Düşündüğünü yapar ve müşterilere 10’ar TL verir. 20 tl de garsonun cebindedir. Şimdi düşünelim:

          Her biri 100TL verip 10TL geri aldıklarına göre 90TL vermiş oldular.

3 x 90 = 270TL

          20TL de garsonun cebinde idi:

270 + 20 = 290TL

          10TL nerede?

          Limit Paradoksu:

          Karşımızdaki bir duvara doğru bir kurala göre yürüyeceğiz. Kuralımız şu:

          Önce karşımızdaki mesâfenin yarısını yürüyeceğiz. Sonra durup kalan yola bakacağız ve tekrar yürüyüp kalan yolun yarısı kadar ilerleyeceğiz. Yine karşımızda kalan yolun yarısı kadar ilerleyeceğiz.

          Bu kurala uyduğumuz sürece devamlı duvara yaklaşırız ancak hiçbir zaman ulaşamayız…

          Sonuç olarak, paradoksların varlığı bilimin gelişmesi ve yeni buluşlar için gereklidir. Çünkü zihnin gelişmesine ve hayata daha farklı gözle bakmamıza sebep olurlar. Pek çok bilim adamının –farkında olmasalar da- hayatının bir parçası olan paradokslar, belki de apayrı bir bilim dalı olarak araştırılmalıdır.